• Ви знаходитесь тут:

• Головна
• Файловий архів

В. В. Мурашко

Цікавинки
для уроків математики

Лабушне-2015

У посібнику зібрані прості й цікаві завдання для виховання в учнів інтересу до вивчення математики та формування навичок логічного мислення, організаторських здібностей, вміння бути в центрі уваги.

Посібник розрахований для вчителів математики, матеріали можна використовувати на уроках і в позакласній роботі з математики.

Посібник можна використовувати як приз переможцям різноманітних конкурсів і турнірів із цікавої математики.

Нескромно про автора
(про себе)

Працюю в Лабушненській школі учителем математики з 1973 року. Вища категорія. Учитель-методист. Нагороджений знаком «Відмінник освіти України», значком «Переможець соцзмагання-1980», іменним годинником Президента України, грамотами Міністерства освіти і науки України, обласної державної адміністрації, обласного управління освіти і наукової діяльності, районного відділу освіти. Неодноразовий переможець районних етапів конкурсів «Учитель року». Учасник обласного етапу конкурсів «Учитель року-1997» (нагороджений заохочувальною грамотою «За прагнення до творчості») та «Учитель року-2010» (нагороджений дипломом за ІІІ місце). Занесений до списку 80 видатних випускників Південноукраїнського національного педагогічного університету ім. К. Д. Ушинського та в книгу «Педагогічний олімп Одещини».

Деякі думають, що математика – це застигла, закінчена наука, що достатньо засвоїти вже відомі формули, правила і теореми, – і ти вже знаєш математику! Насправді математика, як і інші науки, безперервно розвивається. Збагачується новими теоріями, перебудовується у відповідь на нові потреби життя. І в математиці не складніше, ніж в інших науках, добратися до чогось нового, зробити якесь відкриття. Багато вчених, у тому числі і наших, українських, зі шкільного віку починали наукову роботу. Але перед цим ретельно і наполегливо вивчали математику в школі. «Якщо ви хочете навчитися математики, то беріться за задачі!» – це слова видатного математика і великого українця
М. П. Кравчука. Вони повинні стати девізом тих, хто любить і вчить математику.

А щоб зробити навчання цікавішим, стануть у пригоді задачі, зібрані в цьому посібнику з книжок, придбаних автором за більш як 50 років причетності до вивчення і навчання інших математики. Задачі можна використовувати на уроках для розвитку логічного мислення, інтересу до вивчення математики, формування вмінь правильно діяти в незвичайних ситуаціях, робити правильні висновки й узагальнення.

Дев’ятий і десятий розділи призначені для створення на уроках моментів психологічного розвантаження і «розумової» фізкультхвилинки, тому що математику потрібно вивчати весело, «поїдаючи» її з апетитом.

1. Без ручки і паперу

1. У трьох братів виявилося разом 9 олівців. У молодшого – на 1 олівець менше, а у старшого – на 1 олівець більше, ніж у середнього брата. Скільки олівців у кожного з братів?

Відповідь: 2, 3, 4.

2. Якби Тарасик купив три зошити, то в нього залишилося б

11 грн., а якби він захотів купити 9 таких зошитів, то йому не вистачило б 7 грн. Скільки грошей було у Тарасика?

Відповідь: 20 грн., бо зошит коштує 3 грн.

3. Серед жителів одного українського села 800 жінок. Три відсотки з них носять по одній сережці, половина жінок із решти 97% носять по дві сережки, а інша половина зовсім не носить сережок. Скільки сережок усього можна нарахувати у вухах жіночого населення цього села?

Відповідь: Якщо половина із 97% жінок не носить сережки, то число сережок, що припадає на цю частину жінок, таке, як би вони носили всі по одній сережці. Отже, всього сережок стільки, скільки жінок у селі – 800.

4. Я купив шестигранний олівець. Скільки у нього граней?

Відповідь: 8.

5. Одне яйце варять 4 хвилини. Скільки треба варити 6 яєць?

Відповідь: Якщо варити одночасно, то ті самі 4 хвилини, можливо трошечки більше. А якщо по одному, то 24 хвилини.

6. Летіла сорока, а за нею сорок. Скільки було сорок?

Відповідь: Якщо летіли самець і самка. То дві сороки, а якщо сорока і за нею со́рок соро́к, то сорок одна.

7. Як від чотирьох відняти один, щоб дістати п’ять?

Відповідь: Наприклад: від IV забрати I – залишиться V. Або відпиляти від кришки парти один кут – залишиться п’ять кутів (або три, дивлячись як відпилювати).

8. Троє попросили засмажити їм трьох курчат. Кожний з’їв своє курча, і двоє курчат ще залишилося. Як це пояснити?

Відповідь: Той, хто з’їв своє курча, мав прізвище Кожний.

9. Від восьми відняли два і дістали сім. Як це могло трапитися?

Відповідь: Вісім – ві = сім.

10.Чи можна дістати 100, віднявши 2 від 5?

Відповідь: Місто – мі = сто.

2. Числові головоломки.

1. Записати, користуючись трьома п’ятірками і знаками дій:

1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 5.

2. Користуючись п’ятьма двійками і знаками дій, записати число 28.

3. Користуючись чотирма двійками і знаками дій, записати число 111.

4. Записати число 31, користуючись знаками дій і:
1) п’ятьма трійками; 2) шістьма трійками; 3) п’ятьма п’ятірками.

5. Записати 100, користуючись знаками дій і:
1) п’ятьма одиницями; 2) п’ятьма трійками; 3) п’ятьма п’ятірками.

6. Написати дев’ять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Розставити між цифрами плюси і мінуси, всього три знаки, щоб в результаті отримати 100.

Відповідь: 123–45–67+89.

7. За допомогою чотирьох четвірок і відомих знаків дій записати всі натуральні числа від 1 до 10.

Відповідь: Наприклад: (4+4):(4+4); 4:4+4:4; (4+4+4):4; 4+(4-4):4; 4+(4-4):4; (4∙4+4):4; (4+4):4+4; 4+4-4:4; 4+4+4-4; 4+4+4:4; 4+4+4- .

8. Як розставити знаки + у записі 1 2 3 4 5 6 7, щоб отримати суму, яка дорівнює 100?

Відповідь: 1+2+34+56+7.

9. Як треба розставити знаки + у записі 9 8 7 6 5 4 3 2 1, щоб утворилась сума, що дорівнює 99?

Відповідь: 9+8+7+65+4+3+2+1.

10.Яке ціле число ділиться без остачі на будь-яке ціле число, відмінне від 0?

Відповідь:0.

11.Сума яких двох натуральних чисел дорівнює їх добутку?

Відповідь: 2 і 2.

12.Сума яких двох натуральних чисел більша, ніж їх добуток?

Відповідь: а і 1.

13.Знайти число, третина і чверть якого дорівнює 21.

Відповідь: 36.

14.Півтретини – число 100. Що це за число?

Відповідь: 600.

15.Що більше: 10²⁰ чи 20¹⁰?

Відповідь: 10²⁰, бо 10²⁰=10¹⁰∙10¹⁰, а 20¹⁰= 10¹⁰∙2¹⁰.

16.Записати якнайбільше число за допомогою:
1) трьох одиниць; 2) чотирьох одиниць.

Відповідь: 1) 111; 2) 11¹¹.

17. Записати трьома двійками якнайменше натуральне число.

Відповідь: 2-2:2.

18.Записати за допомогою двох цифр і знаків дій якнайменше число.

Відповідь: (-9)⁹.

19.Трьома трійками записати найбільш можливе число.

Відповідь: 3³³.

20.Трьома четвірками записати найбільш можливе число.

Відповідь: .

21.Записати трьома цифрами якнайбільше число.

Відповідь: . – це число – велетень серед чисел. Для звичайного запису його потрібно 36969300 цифр.

22.Скільки разів потрібно взяти доданком натуральне число a, щоб отримати aⁿ?

Відповідь:a^n-1. Наприклад: 4³=64 – це сума 4²=16-ти четвірок (4+4+…+4=4∙16=64)

23.Як 7 яблук поділити порівну між 12 хлопчиками, не розрізаючи жодного яблука більше, ніж на 4 частини?

Відповідь: 3 яблука розрізати на 4 рівні частини і 4 – на 3 рівні частини і дати кожному по 1 шматочку кожного виду.

24.При переписуванні умови завдання учень забув покласти дужки у записі 20 : 5 ∙ 2 + 6². Відновити запис, щоб відповіддю було число: 1) 38; 2) 196; 3) 152; 4) 111.

Відповідь: 1) 20 : (5 ∙ 2) + 6²; 2) (20 : 5 ∙ 2 + 6)²; 3) 20 : 5 ∙ (2 + 6²); 4) відновлення неможливе.

25. Скільки разів до найбільшого одноцифрового числа треба додати найбільше двоцифрове число, щоб отримати найбільше трицифрове число?

Відповідь: 10 разів: 9 + 90 + 90 + … + 90 = 9 + 90 ∙ 10 = 999.

26. Коли добуток двох чисел дорівнює їх частці?

Відповідь: Коли один із множників і дільник дорівнюють відповідно 1 або -1.

3. Логічні завдання

1. У класі дівчаток, яким подобається географія, стільки ж, скільки й хлопчиків, яким не подобається географія. Кого в класі більше – учнів, яким подобається географія, чи хлопчиків?

Відповідь: Порівну: Розділимо всіх учнів на дві групи: У першій – хлопчики, у другій – дівчатка. Потім хлопчиків, які не люблять географію, переведемо у другу групу, а дівчат, які люблять географію – у першу. Число учнів у кожній групі від цього не зміниться. Тепер у першій групі будуть всі учні, які люблять географію, тобто їх стільки ж, скільки і хлопчиків.

2. Сидять поряд хлопчик і дівчинка.

– Я хлопчик, – говорить кирпата дитина.

– Я дівчинка, – говорить капловуха дитина.

Хоча б одна дитина сказала неправду. Хто з них хлопчик, а хто дівчинка?

Відповідь: Вони обоє сказали неправду. Хлопчик капловухий, а дівчинка кирпата.

3. Відомо, що серед членів уряду Кривляндії є хоча б один чесний, а також – що з будь-яких двох членів хоча б один – хабарник. Усього в уряді 30 членів. Скільки в уряді Кривляндії хабарників?

Відповідь: 29, бо двох чесних бути не може, оскільки за умовою з будь-яких двох хоча б один – хабарник.

4. Позавчора Несторчику виповнилося 13 років. У наступному році йому буде 16 років. Як таке може бути?

Відповідь: Якщо нинішній день 1 січня, а день народження у Несторчика 31 грудня. Тоді позавчора (30 грудня) йому було ще 13 років, учора (31 грудня) виповнилося 14 років, у нинішньому році виповниться 15 років (31 грудня) , а в наступному році – 16 років.

5. В одного чоловіка запитали:

– Скільки вам років?

– Чимало, – відповів він. – Я старший деяких свої родичів майже у 600 разів.

Чи може таке бути?

Відповідь: Може, якщо, наприклад, чоловікові 50 років, а його онукові 1 місяць.

6. У 2005 році Олександру виповнилося 20 років, а в 2010 році усього 15 років. Як це можливо?

Відповідь: Події відбувалися до нашої ери.

7. Електронний годинник показує години та хвилини (наприклад, 14:23). Вправляючись у рахуванні, маленький Назарчик знаходить суму цифр на цьому годиннику.(1+4+2+3=10). Коли годинник покаже такий час, щоб сума цифр була найбільшою?

Відповідь: 19:59.

8. Коли маленька Дашка підійшла до дідусевого настінного годинника із зозулею, він показував 12 годину 5 хвилин. Дашка почала крутити пальцем хвилинну стрілку, поки годинна стрілка не повернулась на те саме місце, де вона була і до Дашиної забави. Скільки «ку-ку» нарахував за цей час дідусь, що сидів у сусідній кімнаті? (Годинник із зозулею кожну годину виконує стільки «ку-ку», скільки годин показує).

Відповідь : 1+2+3+…+12=78 «ку-ку».

9. Якийсь грек народився 10 березня в 40 р. до н. е. і помер 10 березня в 40 р. н. е. Скільки років він прожив?

Відповідь: 79, бо нульового року не було.

10.У Максимка є купа паперу, в якій 500 аркушів. Для того, щоб відрахувати 50 аркушів, Максимкові потрібна 1 хвилина. Скільки щонайменше часу йому потрібно, щоб відрахувати з купи 400 аркушів паперу?

Відповідь: 2 хвилини. За 2 хвилини Максимко відрахує 100 листків, а візьме решту 400.

11.Коли годинник показує три години, він відбиває три удари за три секунди. Скільки секунд знадобиться годиннику, щоб відбити сім годин?

Відповідь: 9 секунд. Між трьома ударами дві паузи, які тривають три секунди. А якщо ударів сім, то пауз шість, тому часу витрачається у три рази більше.

12.Матері 47 років, а її трьом синам відповідно 10, 12 і 15 років. Коли сума віків синів зрівняється з віком матері?

Відповідь: Через5 років: зараз мамі на 10 років більше, ніж сума років синів. За рік мама старшає на1 рік, а всі сини на 3. Тому за рік вони «наздоганяють» на 2 роки, отже, щоб догнати, їм треба 10:2=5 років.

13.Копичка сіна. Кінь з’їдає копичку сіна за два дні, корова – за 3, вівця – за 6. За скільки днів вони з’їдять копичку, якщо будуть їсти сіно разом?

Відповідь: За день. Кінь, корова і вівця за день з’їдають відповідно копички сіна. .

14.Віз сіна. Кінь з’їдає віз сіна за місяць, коза – за два місяці, вівця – за три місяці. За який час кінь, коза й вівця з’їдять такий самий віз сіна?

Відповідь: За місяця. Кінь за рік з’їдає 12 возів, коза – 6, вівця – 4, разом – 22. Отже, один віз сіна разом вони зїдять за 12:22= місяця.

15.Барило квасу. Один чоловік випиває барило квасу за 14 днів, а разом із дружиною він випиває таке саме барило квасу за 10 днів. За скільки днів дружина одна вип’є таке саме барило квасу?

Відповідь: За 140 днів чоловік вип’є 10 барил квасу, а вдвох із дружиною за 140 днів вони вип’ють 14 барил квасу. Отже, за 140 днів дружина вип’є 4 барила квасу, а одне барило вона вип’є за 140:4=35 днів.

16.Три курки за три дні знесли три яйця. Скільки яєць знесуть дев’ять курок за дев’ять днів?

Відповідь: Курка несе одне яйце за три дні, отже, за 9 днів вона знесе 3 яйця, а 9 курок за 9 днів ­ 27 яєць.

17.Фрекен Бок з’їдає торт за півгодини, Малюк – за годину, а Карлсон – за 5 хвилин. За який час вони з’їдять торт разом?

Нехай вони разом з’їдять торт за х хвилин. Тоді Фрекен Бок з’їсть торта, Малюк – , Карлсон – . Маємо: + + =1. Звідки: х=4. За 4 хвилини.

18.На столі в один ряд стоять три наповнені водою склянки й три порожні. Яким чином зробити так, щоб повні й порожні склянки чергувалися, якщо можна взяти в руки тільки одну склянку?

Треба взяти другу наповнену склянку й перелити воду з неї в другу порожню склянку.

19.Є трилітрова банка соку й дві порожні банки: літрова й дволітрова. Як розлити сік так, щоб у кожній банці було по одному літру соку?

Налити повну двохлітрову банку, а потім з неї налити повну літрову. У всіх банках бде по літру соку.

20.Є 9 кг крупи й шалькові терези з гирями 50 г і 200 г. Як за три прийоми відважити 2 кг цієї крупи?

Потрібно розважити крупу на дві рівні частини по 4,4 кг; потім розважити одну із цих частин ще раз навпіл, тобто по 2,25 кг, і від однієї з них відважити за допомогою двох наявних гир 250 г. Залишиться 2 кг круп.

21.У мішку 9 кг круп. Як за допомогою шалькових терезів і однієї 200-грамової гирі відважити 2 кг круп, якщо дозволяється зробити тільки 3 зважування?

При першому зважуванні покладемо на ліву шальку гирю 200 г і врівноважимо терези за допомогою круп. Тоді на крупи на лівій шальці буде 4400 г, а на правій – 4600 г. Тепер 4400 г розділимо навпіл, тоді на кожній шальці буде по 2200 г. При третьому зважуванні відважимо 200 г від однієї купки круп 2200 г. У ній залишиться 2000г = 2 кг.

22.В аптеку завезли 5 упаковок таблеток. Услід прийшло повідомлення, що в цій партії є одна застаріла упаковка. Кожна таблетка важить 10 г, крім застарілих: вони знаходяться в одній упаковці й важать 9 г кожна. За допомогою терезів визначити за одне зважування, в якій упаковці застарілі таблетки.

Пронумеруємо упаковки з таблетками. З першої упаковки візьмемо одну таблетку, з другої – дві, з третьої – три, з четвертої – чотири таблетки, а з упаковки номер п’ять – 5 таблеток.

Зважуємо всі таблетки разом. Якби усі таблетки важили однаково, то загальна вага була б (1+2+3+4+5)∙10=150 г. Отже, якщо відняти від 150 г ту вагу, яку показали терези, ми довідаємось, скільки 9-грамових таблеток ми зважували. Наприклад, якщо терези показують 147 г, то застарілі таблетки в третій упаковці.

23.Ручка дорожча за зошит, а олівець дешевший за ручку. Що дорожче – олівець чи зошит?

Не можна однозначно визначити.

24.Одна господиня продає на ринку два кавуни різних розмірів. Один із них у 2 рази більший за розмірами і в 5 разів дорожчий від другого. Який з них вигідніше продати господині?

Об’єм великого кавуна більший за об’єм малого у 8 разів, тому й ціна повинна бути у 8 разів більшою. Отже, вигідніше продати менший кавун, а покупцеві вигідніше купити більший, бо він дорожчий у 5 разів, а їстівної речовини у ньому більше у 8 разів.

25.Назар з’їв удвічі менше слив, ніш Тарас. Даша з’їла вдвічі менше слив, ніж Назар. Скільки слив з’їла кожна дитина, якщо всього вони з’їли 21 сливу?

Нехай Даша з’їла 1 частину слив, тоді Назар з’їв дві частини, а Тарас – 4 частини. Всього 7 частин, тому на одну частину припадає 3 сливи. Отже, Даша з’їла 3 сливи, Назар – 6, а Тарас – 12 слив.

26.Біля входу до кінотеатру стоять дві людини. Одна людина – батько сина іншої людини. Як таке може бути?

Біля кінотеатру стояли чоловік і його дружина.

27.Професор заходить у кімнату і бачить: батько сина професора б’ється з сином батька професора. Хто з ким б’ється?

Професор – жінка. У кімнаті б’ються її чоловік з її братом.

28.В одній родині в кожної дочки братів саме стільки, скільки й сестер, а в кожного сина сестер удвічі більше, ніж братів. Скільки братів і скільки сестер у родині?

4 дочки й 3 сини.

29.В однієї жінки були два сини, які народились в один і той самий день одного і того самого року. Але вони не були двійнею. Як це може бути?

Хлопці були двома синами із трійні.

30.Петя, Миша і Саша – друзі. Петя – брат Миші. Миша – брат Саші. Саша – не брат Петі. Як таке може бути?

Саша – жінка.

31.У 22-го і 24-го президентів США були той самий батько і та сама мати, але ці президенти не були братами. Як це могло бути?

Цими двома президентами була одна й та сама людина Гроувер Клівленд (1837–1908), який був президентом два терміни, але не підряд (1885-1889 і 1893–1897).

32.Продовжити послідовність: 77, 49, 36, 18, … .

Кожне наступне число – добуток цифр попереднього, тому п’яте число 8.

33.Продовжити послідовність: В30, Ж31, Л30, … .

Г31. Послідовність складається з перших букв назв місяців і кількості днів у них.

34.За яким правилом розташовані цифри?

8 2 9 0 1 5 7 3 4 6

Цифри розміщені за алфавітом: вісім, два, дев’ять, … .

35.Замість зірочки поставити пропущену букву:

П В С * П С Н

Пропущена буква – Ч (четвер).

36.П’ятирічній Даші запропонували задачку, і вона впоралася з нею. Спробуйте й ви. Яке число відповідає знаку питання?

8809 – 6

2172 – 0

6666 – 4

3213 – 0

7662 – 2

9312 – 1

8193 – 1

2581 – ?

Треба порахувати кількість кружечків у цифрах – 0, 6, 9 – один кружечок. 8 – два кружечки, інші цифри – жодного кружечка, тобто нуль. Отже, правильна відповідь – 2.

37. Якому числу відповідає знак питання?

Корова –2 (му), вівця – 2 (ме). Свиня – 3 (хрю), собака – 3 (гав), кішка – 3 (няв), качка – 3 (кря), зозуля – 4 (ку-ку), півень – 8 (ку-ку-рі-ку), осел – 2 (іа).

38.Одну з букв у наведеній нижче послідовності замінено знаком питання. Яку?

Ь, Й, Ь, Ь, Ь, ?, Ь, Ь, Ь, Ь, Д. Ь.

Наведена послідовність – останні букви назв місяців – січень, лютий, березень і т. д. Отже, знаком питання замінено м’який знак (червень).

39.Яку букву треба підставити замість знака питання?

Ч О Ж З Б С ?

Послідовність перші букви кольорів веселки: Червоний, Оранжевий, Жовтий, … . Таким чином, наступна буква – Ф (Фіолетовий).

40.Вказати наступну букву в послідовності:

П Д Т Ч П Ш … .

Послідовність – перші букви порядкових числівників: перший, другий, третій, … . Таким чином, наступна буква – С (сьомий).

41.Двадцять курчат клювали зерно. Перше курча склювало 40 зернин, друге – 60, кожне наступне – середнє арифметичне зерен, що склювали всі попередні курчата. Скільки зерен склювало 20-е курча?

Третє курча склювало (40 + 60) : 2 = 50 зерен. Кожне наступне (у тому числі й 20-те) теж склювало по 50 зерен: якщо в групу чисел додати число, що дорівнює середньому арифметичному цієї групи, то середнє арифметичне нової групи буде дорівнювати середньому арифметичному початкової групи.

5. Логічний калейдоскоп

1. За книжку заплатили 30 грн. і залишилося заплатити ще стільки, скільки залишилося б заплатити, якби за неї заплатили б стільки, скільки залишилося заплатити. Скільки коштує книжка?

Ще стільки ж, усього – 60 грн.

2. Після семи прань довжина, ширина й висота шматка мила зменшилася вдвічі. На скільки прань вистачить шматок мила, що залишився?

Ще на один раз.

3. Як його розділити навпіл число дванадцять, щоб отримати дві сімки?

Написати число дванадцять римськими цифрами і провести лінію посередині числа. Дістанемо дві сімки, написані римськими цифрами.

4. Сторони трикутника дорівнюють 13, 18 і 31 см. Чому дорівнює площа трикутника?

Такого трикутника не існує.

5. За добу до дощу Назарчиків песик завжди чихає. Сьогодні песик чихнув. «Завтра буде дощ», – подумав Назарчик. Чи має рацію хлопчик?

Ні. Якщо із твердження А випливає твердження В, то це не означає, що із твердження В випливає твердження А. Отже, Назарчиків песик міг чихнути й просто так, і через хворобу. Дощу може і не бути.

6. Директор школи проти скасування рішення про заборону контролю над зачісками. Чи можна при такому формулюванні ходити з будь-якими зачісками?

Так, директор за будь-які зачіски.

7. Максим і Даша гралися на брудному і темному горищі в будинку бабусі. Погравши до обіду, вони спустилися вниз. У Максима все обличчя було брудним, а Дашине обличчя дивним чином залишилося чистим. Незважаючи на це, тільки Даша відправилася вмиватися. Чому?

Даша побачила, що у Максима брудне обличчя, й подумала, що в неї таке саме, а Максим, побачивши чисте обличчя Даші, подумав, що з його обличчям також усе в порядку.

8. У яку сторону їде автобус, зображений на фото, – вправо чи вліво?

Автобус їде вліво, тому що якби він їхав управо, було б видно вхідні двері.

9. У кошику є п’ять яблук. Як розділити п’ять яблук між п’ятьма дітьми так, щоб кожна дитина одержала по яблуку й одне яблуко залишилося в кошику?

Одній дитині треба віддати яблуко разом з кошиком.

10.У якому випадку правильна рівність 19 + 15 = 10?

Коли йдеться про годинник: 19:00 + 15 годин = 10:00.

11.У якому випадку, дивлячись на цифру 2, ми говоримо «десять»?

Коли ми дивимось на годинник, який показує десять хвилин якої-небудь години.

12.Тарас пішов до крамниці, маючи із собою 101 грн. двома банкнотами. У Тараса не було ніяких інших грошей. Одна з банкнот не є одногривневою. Які банкноти у Тараса?

Одна з банкнот не є одно гривневою, але інша – одно гривнева. Таким чином у Тараса дві банкноти – 100 грн. і 1 грн.

13.Що більше – сума всіх цифр чи їх добуток?

Сума більша, оскільки добуток десяти цифр, серед яких є 0, дорівнює нулю.

14.Із гнізда вилетіли три шпаки. Яка ймовірність того, що через 15 секунд вони будуть знаходитися в одній площині?

Ймовірність 100%, тому що три точки завжди знаходяться в одній площині.

15. Тарасик упав із 30-метрової драбини і відбувся легким переляком, без синців і переломів (навіть без подряпин). Як таке могло бути?

Відповідь. Тарасик упав із нижнього щабля.

6. Загадки і жарти

1. Він ходив, але взуття не зношував. Назарчик вирішив йому допомогти, але зробив тільки гірше: тепер він навіть із допомогою Назарчика не може ходити. Про що мова?

Про годинник.

2. Коли повз нього йде літня жінка, вона дивиться на нього і говорить: «Баба Яга». Коли повз нього йде солдат, він дивиться на нього й говорить: «Наполеон!». Коли йде дівчина, вона дивиться на нього і говорить: «Василиса Прекрасна!» Про що мова?

Про дзеркало.

3. Учень виходить із будинку, тримаючи в руці якийсь предмет. Назустріч йому йде однокласник. Другий запитує першого: «Шість?» Перший відповідає: «Ні, сім!» Про що йдеться?

Про гітару.

4. У гітари цього цілих шість, у домри всього п’ять, а в арфи тільки чотири. Про що йдеться?

Про кількість букв у назві музичного інструмента.

5. Якщо ти вимовиш моє ім’я, я відразу зникну. Що це?

Тиша.

6. Якщо ти зробиш це один раз – це буде добре. Якщо ти зробиш це двічі на день, то це буде вважатися серйозним злочином. Що це таке?

Голосування двічі на тих самих виборах.

7. Перший одержав свою назву завдяки розмірам, другий – завдяки здатності подавати додаткову інформацію, третій прославився своїм місцем розташування, четвертий воліє виступати інкогніто. А як називають п’ятого?

Мізинець.

8. Кожні людині два рази це дається безкоштовно, а за третій раз треба платити великі гроші.

Зуби.

9. Як називалися ті, хто намагався з 80 зробити 79?

Алхіміки. Вони намагалися із ртуті (номер 80 у таблиці Мендєлєєва) одержати золото (номер 79).

10.Яке слово з семи букв навіть випускники загальноосвітніх шкіл України пишуть неправильно?

Це слово «неправильно».

11.У кімнаті було 12 курчат, 3 кролики, 5 цуценят, 2 кішки,
1 півень і 2 качки. Сюди зайшов хазяїн з собакою. Скільки в кімнаті стало ніг?

Дві (ноги хазяїна). У тварин лапи.

12.Якщо о 12 годині ночі йде дощ, то чи можна очікувати, що через 96 годин буде сонячна погода?

Ні, тому що через 96 годин знову буде північ.

13.Як може яйце, що ви кинули, стоячи посеред баскетбольного майданчика, пролетіти три метри й не розбитися?

Головне – яйце слід кидати так, щоб воно летіло більше трьох метрів. Тоді воно розіб’ється не коли пролетить три метри, а коли впаде.

14.Біля дороги стоять два вартові. Один дивиться в один бік дороги, а другий – у протилежний, але при цьому вони бачать один одного. Як таке може бути?

Хоча вартові дивляться в протилежні боки, стоять вони не спиною до спини, а обличчям один до одного.

15.Два юнаки одночасно підійшли до річки. Човен, на якому можна переплисти через річку, витримує лише одну людину.
І все-таки без сторонньої допомоги кожний переправився на цьому човні на інший берег. Як їм це вдалося?

Юнаки підійшли до різних берегів річки.

16.Як правильно казати: «У рибів нема зубів», «У риб нема зуб» чи «У рибин нема зубин»?

Правильно казати: «У риб є зуби».

17.У Даші було 4 яблука, половину вона віддала подрузі. Скільки яблук залишилося у Даші?

Три з половиною.

18.Ви сидите в літаку, перед вами жираф, позаду верблюд. Де ви знаходитеся?

На каруселі.

19.Сидить людина, а ви не можете сісти на її місце, навіть якщо вона підведеться й піде. Де сидить людина?

Людина сидить у вас на колінах.

20.Коли Тарасик навчався у п’ятому класі, він декілька разів демонстрував дивне шоу: він ставив посеред кімнати пляшку, а потім вповзав у неї. Як йому це вдавалося?

Тарасик вповзав не у пляшку, а в кімнату.

21.Скільки тварин кожного виду Мойсей посадив у ковчег?

Ковчег будував Ной, а не Мойсей.

22.Чому чорні вівці їдять трави менше, ніж білі?

Тому, що чорних овець менше, ніж білих.

23.У одного фермера 8 свиней: три рожевих, чотири бурих і одна чорна. Скільки свиней можуть сказати, що в цьому невеликому стаді знайдеться хоча б ще одна свиня такої ж «масті», як і її власна?

Відповідь: Жодна, бо свині не говорять.

18. Чоловік подарував дружині на день її народження мініатюрний зрізаний конус, верхня основа якого трохи випукла. Конус металевий, позолочений, його поверхня вкрита невеличкими заглибленнями. Що чоловік подарував дружині?

Відповідь: Позолочений наперсток.

7. Винахідницькі задачі

1. Найбільше число. Батько з хитрою посмішкою просить свого сина-першокласника назвати найбільше число. Одержавши відповідь, він лише здивовано похитав головою, не знаючи, що й сказати. Що відповів син?

Відповідь:Тридцять перше (мається на увазі число місяця).

2. Тенісний м’яч. Бумеранг можна кинути так, що він повернеться назад, не торкаючись жодної поверхні. А чи можна кинути так тенісний м’яч?

Відповідь: Можна – підкинути вертикально вгору.

3. Футбольний турнір. Перед початком невеликого міжнародного футбольного турніру Тарасик уклав парі з Назарчиком, що жоден футболіст не заб’є жодного м’яча. Турнір не був зірваний, тобто нормально пройшли всі матчі, але Тарасик зумів виграти це парі. Догадайтеся, чому.

Відповідь: Це був турнір жіночих футбольних команд. М’ячі забивали не футболісти, а футболістки.

4. Присідання. Чи можна зробити від двох до трьох сотень присідань менш ніж за одну хвилину?

Відповідь: Фразу «від двох до трьох сотень присідань» слід розуміти як «від двох присідань до трьох сотень присідань». А два присідання за менш ніж одну хвилину зробити нескладно.

5. Два покупці. Глухонімий дядько Панас зайшов у магазин канцтоварів, щоб купити стругачку для олівців. Він застромив собі палець у ліве вухо й кулаком іншої руки зробив обертовий рух навколо свого правого вуха. Продавець відразу зрозумів, про що його просять.

Потім у той самий магазин увійшов сліпий дядько Микола. Як він пояснив продавцеві, що хоче купити ножиці?

Відповідь: Він сказав продавцеві: «Я хочу купити ножиці».

6. У лікарні. Максим провів три дні у лікарні. Він не був хворий і не одержав травму, його самопочуття під час виписки було зовсім нормальним, але його довелося нести. Чому?

Відповідь: Максим щойно народився в цій лікарні.

7. Як упакувати вудилище? Один рибалка купив собі бамбукове вудилище довжиною 5 метрів. Додому йому доводилося добиратися громадським транспортом, у якому правилами заборонено перевозити предмети, які в довжину перевищують
4 метри. Як рибалка впакував вудилище, щоб проїхати в громадському транспорті, не порушуючи правил?

Відповідь: Він впакував вудилище в коробку довжиною 4 метри і шириною 3 метри, розташувавши його по діагоналі коробки.

8. Олівець. Олівець поклали на підлогу й попросили кількох людей перестрибнути його. Але ніхто цього не зміг зробити. Чому?

Відповідь: Олівець поклали впритул до стіни.

9. Рідкісний птах. «Це рідкісний птах, – завірив покупця продавець зоомагазину, – він повторює кожне слово, яке почує». Покупець купив птаха, але вже за тиждень приніс його назад у зоомагазин, гнівно заявивши, що той не вимовив жодного слова. І все ж таки продавець казав правду про цього птаха. Як таке може бути?

Відповідь: Птах був глухий, тому не чув жодного слова, отже, й не повторював.

10.Собака, який кусався. Одного разу у парку, гуляючи з собакою, Назар зустрів однокласника Сашка. Сашко запитав Назара:

– Твій собака не кусається?

– Ні, – відповів Назар.

Але, незважаючи на те що Назар казав правду, цей собака все ж таки вкусив Сашка. Як таке може бути?

Відповідь: Назар казав правду, що його собака не кусається. Але він гуляв з чужим собакою.

11.Перерізати нитку. До гака на стелі на міцній нитці довжиною близько 2 м підвішена кавова чашка. Як перерізати нитку ножицями так, щоб чашка не впала на підлогу? Тримати нитку або чашку не можна.

Відповідь: 1) В умові задачі не сказано, що треба перерізати саме ту нитку, на якій висить чашка. Тому можна перерізати будь-яку іншу нитку.

2) Можна підставити під чашку стіл, тоді чашка після пере різання нитки впаде на стіл, а не на підлогу.

12.Три ювелірні магазини. На одній одеській вулиці неподалік один від одного знаходилися три ювелірних магазини. Перший ювелір рекламував себе так: «Кращий ювелірний магазин в Одесі!». Другий брав вище: «Кращий ювелірний магазин у всьому світі!». Але третій перевершив їх обох. Як він характеризував свій магазин?

Відповідь: Він рекламував себе так: «Кращий ювелірний магазин на цій вулиці!».

13.Звільнення з роботи. Пан Петренко пішов купатися в море, а наступного дня його звільнили з роботи за профнепридатність. Чому це сталося?

Відповідь: Пан Петренко працював диктором на телебаченні. Коли він плавав у морі, то побачив поряд з собою велику акулу. Від пережитого потрясіння він став заїкатися.

14.Пожежник у магазині. Чоловік заходить у магазин, купує ковбасу й просить її порізати, але не поперек, а вздовж. Продавщиця запитує: «Ви що, пожежник?» – «Так», – відповів чоловік. Як вона здогадалася?

Відповідь: Чоловік був у формі пожежника.

15.У полоні у амазонок. Один мандрівник потрапив у полон до амазонок. Вони повинні його вбити, але урочисто обіцяли виконати одне його передсмертне прохання. Що має попросити мандрівник, щоб мати великі шанси врятуватися?

Відповідь: Мандрівник має попросити, щоб його вбила найпотворніша з амазонок.

16.Багатоженець. Мешканець одного українського міста за місяць зареєстрував шлюб більше, ніж 10 разів. Щораз у шлюб вступала інша жінка. Проте він не розлучився з жодною з них, але й не став при цьому багатоженцем. Як таке може бути?

Відповідь: Мешканець українського міста працював у відділі реєстрації шлюбів і реєстрував шлюби.

17.Літня пані. У літньої пані не було при собі прав водія. Вона не зупинилася перед залізничним переїздом, хоча шлагбаум був опущений, потім рушила вулицею з одностороннім рухом проти руху й зупинилася, лише минувши три квартали. Усе це відбувалося на очах в міліціонера, який чомусь не вважав за потрібне втрутитися. Чому?

Відповідь: Літня пані йшла пішки.

18.Дивне ДТП. Одного разу взимку на дорозі відбулося досить дивне ДТП. Двох водіїв було доставлено в лікарню у важкому стані, але їхні машини не одержали при цьому ніяких ушкоджень. Що трапилося на дорозі?

Відповідь: Був сильний снігопад, у обох водіїв за дивним збігом обставин не працювали «двірники». Водії висунулися з вікон, щоб побачити дорогу, і на повному ходу зіштовхнулися головами.

19.Пророкування екстрасенса. Відомий екстрасенс Вгадайко абсолютно точно пророкує рахунок будь-якого футбольного матчу до того, як він почнеться. Як це йому вдається?

Відповідь: Рахунок будь-якого футбольного матчу до того, як він почнеться, 0:0.

20.Ходіння по воді. Священик сільської церкви оголосив привселюдно, що в певний день і годину він перейде глибоководну річку, що тече через село. У призначений час при великім скупченні народу священик ступив на воду річки в найширшому її місці й за 5 хвилин успішно перебрався на протилежний берег. Як йому це вдалося?

Відповідь: Дія відбувалася взимку. Річка вкрилася льодом.

21.У вагоні електрички. Жінка зайшла у вагон метро й побачила, що у вагоні продають лейкопластир. До того, як двері зачинилися, вона вийшла назад на платформу. Що трапилося?

Відповідь: Жінка теж продавала лейкопластир.

22.Внуртрішній діаметр трьох метрового відрізка труби дорівнює 4 см. З одного кінця в трубу вводять кулю радіусом 3 см, а з другого – кулю діаметром в 2см. Чи можна за допомогою довгого стержня проштовхнути кожну кульку через трубу?

Відповідь: Можна. Якщо кульки проштовхувати не одночасно, а по черзі.

23.Шкільний інспектор. Інспектор, що перевіряв одну з шкіл, помітив, що коли б він не задав класу питання, у відповідь тягли руки всі учні. Більше того, хоча шкільний учитель щоразу вибирав іншого учня, відповідь завжди була правильною. Як це виходило?

Відповідь: Учитель попередньо домовився з учнями, щоб вони всі піднімали руки незалежно від того, знають відповідь або не знають. Але ті, хто знає відповідь, мали піднімати праву руку, а ті, хто не знає, – ліву. Учитель щоразу вибирав іншого учня,але завжди того, хто піднімав праву руку.

9. Так кажуть учителі.

1. Я не чую, щоб ви слухали!

2. Емоції, з якими я перевіряю ваші зошити, соромно сказати вголос!

3. І питання на засипку: «Яке порося мене не слухає?»

4. Куди дивиться ваш мозок?

5. Маємо встигнути пройти підручник від початку до кінчатку.

6. Зараз я тебе зроблю щасливим навпаки.

7. Один кричить, другий шепоче – сонне королівство якесь!

8. Підніміться, кого немає!

9. А тепер виділіть це жирним чином!

10.Яблуня від яблука недалеко падає.

11.На уроці треба сидіти тихо, щоб чутно було, як миша пролетить.

12.Запитання номер наступне.

13. Тут же чітко написано українською по білому!

14.Він був рядовим генералом.

15.Категорично забороняється смикати за коси учнів молодших класів!

16.Заважайте тихіше!

17.Отож, мої юні партизани, починаю допит з минулої теми…

18.Олень стояв на висоті триповерхової скелі.

19.Підкресліть жирним або іншим кольором.

20.А ще там росте кроликова береза.

21.Якщо ти на завтра не вивчиш вірш, я тебе сьогодні відведу до директора.

22.Гуляйте, куди хочете.

23.У мене від вас голова дибки!

24.Після дзвінка з класу ніхто не виходить: найголовніший дзвінок у школі – це я.

25.Козлов! Ведмедько! Досить стрибати – тут вам не зоопарк!

26.Не виводьте мене з норми!

27.Зараз я йду до тебе в зошит!

28.Годинник відстає на три хвилини вперед.

29.Подивіться на слово, яке я зітер.

30.У тебе що, немає язика постукати?

31.Досить байдикувати – пірнаємо з головою в математику.

32.У тебе поганий почерк з пелюшок.

33.Без книжок людина – як без частин тіла.

34.Дивлюся краєм вуха і розумію, що клас не слухняний.

35.Контрольну приходьте переписувати на будь-якому уроці, бажано – на перерві.

10. Веселі перегони.

1. На уроці математики вчителька написала на дошці приклад 4 : 4 і запитує Сергійка, скільки буде?

– Нічия, – відповів учень.

2. Запишіть домашнє завдання: три останні задачі на сторінці 20, усі приклади на сторінці 21, усі задачі на сторінці 22, – каже вчитель.

– Бідний мій тато, – важко зітхнула Оля.

3. – Що таке літр?

– Те саме, що й метр, тільки в рідкому стані.

4. – Чому ти знову не виконав завдання з математики?

– Не хвилюйтеся, Катерино Павлівно. Сьогодні тато повертається з відрядження – все буде добре.

5. Прийшов Тарасик додому, а мама запитує його:

– Як справи у школі?

– Та що казати, головне, щоб усі були здорові…

6. – Що таке ромб?

– Квадрат, який падає набік.

7. Знайшов Чебурашка копієчку. Зайшов до супермаркету, накидав у візочок солодощів, під’їхав до каси. Дав касирці копієчку. Та здивовано дивиться на нього.

– Чого ви чекаєте? – каже Чебурашка, – давайте здачу, і я поїхав.

8. – Тату! А можна, я не вчитиму математику, а піду пограю у футбол..

– Чому?

– Бо за футболістів більше грошей платять! А математиків ніхто не купує…

9. – Якщо картоплину розрізати навпіл, а потім кожну половинку ще пополам, які частини отримаємо?

– Чверті.

– Добре, а потім?

– Восьмі.

– Потім?

– Шістнадцяті.

– Молодець, а далі?

– Тридцять другі.

– Правильно, а потім?

– Потім, Лесю Іванівно, буде картопляне пюре.

10.Учителька запитує першокласника:

– Коли у тебе день народження?

– 20 травня.

– Якого року?

– Кожного!

11.Син прийшов додому із синцем під оком. Мама докоряє:

– Скільки разів тобі казала: якщо розсердився, спочатку полічи до 100, а потім уже вирішуй – битися чи ні.

– Я це пам’ятав. Але Максимова мама порадила йому лічити до 50…

12.– Андрію, це ти пошкрябав парту?

– Ні, але я більше не буду.

13.– Як розділити три яблука між п’ятьма дітьми?

– Треба зварити їм компот.

14.– Катрусю, радій – наш тато став директором школи.

– А хто ж тепер нашим татом буде?

15.– Синку, не вмикай так голосно музику, бо зіпсуєш слух!

– Дякую, мамо, я вже пообідав.

16.– Тобі хтось допомагав готувати уроки? – звертається учитель до учня.

– Так, татко.

– Як саме?

– Я сидів за столом, а він стояв коло мене з ремінцем.

17.– Скільки буде, якщо до трьох паличок додати ще дві? – запитує вчитель у малої Галі.

Дівчинка розгубилася:

– Я вмію додавати тільки … шоколадки.

18.Новий класний керівник – учням:

– У деяких класах половина дітей працює, а половина б’є байдики. У нас буде все навпаки.

19.Батько пише синові-студенту: «Любий синку! Надсилаю тобі 200 гривень, як ти просив. До речі, число 200 пишеться з двома нулями, а не з чотирма».

20. – Я мрію заробляти по 10 000 доларів на місяць, як мій батько.

– Твій батько заробляє 10 000 доларів на місяць?

– Ні, але він теж про це мріє.

21.– Синку, якщо будеш гарно вчитися, то купимо тобі комп'ютер.

– А якщо погано?

– Тоді купимо піаніно.

22.– Тату, мені щось треба тобі сказати…

– Тільки чітко й лаконічно!

– Сто гривень.

23. У вагоні метро малий синок голосно запитує:

– Мамо, а скільки тобі років?

– Цить! Я тобі потім скажу.

– Ну скажи хоч першу цифру.

– Три.

– А другу?

– Чотири.

– А третю?

24.У Простоквашино. Сидять в кафе у Простоквашино учитель математики і учитель інформатики і просто квасять. І зайшла у них розмова про те, що люди більше знають – інформатику, чи математику. Коли інформатик вийшов на хвилинку з-за стола, математик покликав офіціантку і попросив допомогти пожартувати зі свого друга.

– Як прийде мій друг, я Вас покличу і запитаю: чому дорівнює первісна ікс квадрат? Ви скажете: «третина ікс куб».

Домовились. Прийшов інформатик, математик покликав офіціантку, запитав, вона відповіла. Інформатик визнав, що математику знають більше.

А офіціантка відійшла від столика, потім повернулася і сказала:

– Третина ікс куб плюс довільна константа!

25.Дзвінок із Казахстану:

– Сергію, як там у вас погода?

– Та не знаю, Інтернет не працює…

26.На групі продовженого дня:

– Галино Іванівно, можна я телевізор подивлюся?

– Подивися, тільки не вмикай.

27.Блондинка і піца. Офіціант приніс блондинці замовлену піцу й запитує:

– Вам на скільки шматочків розрізати – на 4 чи на 8?

Блондинка:

– Мабуть, на 4, бо 8 – це забагато, я стільки не з’їм.

28. – Уявляєш, тату, наш учитель такий заздрісний!

– З чого ти взяв?

– Ось уже вкотре, виганяючи мене з класу, він каже: «От якби я був твоїм батьком!..»

29.Порівняння чисел. — Петрику, в одній купці лежить чотирнадцять цукерок, а в другій на п’ять більше. У якій купці більше
цукерок?
— А ви, бабусю, покладіть цукерки. Яку я купку виберу собі, там і більше.

30.Анекдот граматичний.

Учителька:

– Сьогодні, діти, ми будемо змінювати дієслова. Я стою, ти стоїш, він стоїть, ми стоїмо, ви стоїте, вони стоять… Сергійку, повтори!

– Усі стоять.

31.Анекдот математичний.

Мама запитує Петрика:

– Як справи у школі?

– Учителька сказала, що я геть не знаю математики, і поставила мені в щоденник якусь цифру.

32.Анекдот управлінський.

Учні пишуть твір на тему: «Якби я був директором фірми».

Усі старанно пишуть, і тільки Сергійко дивиться у вікно.

– А ти чому не пишеш?

– Чекаю секретарку!

33. Анекдот майже політичний. – Алло, здрастуйте!!! Це телефонують з дитячого садка… Підійшла Ваша черга!!!!

– Спасибі, звичайно, але сина вчора в армію забрали…

34.Анекдот майже політичний. – Синку, куди це ти з валізою зібрався?

– В армію йду, тату.

– А що, до школи ти більше не ходиш?

35.Про ЗНО. — От якби-то ЗНО та складати на Місяці.
— А чому?
— Бо там всі предмети в шість разів легші!

36. Чи вірити вчителю? Два школярі. Один говорить:
– Вже не знаю, чи вірити нашому вчителю математики… Учора він сказав, що 6+4=10, а сьогодні, що 7+3 теж =10…

37.Несправедлива вчителька. – Скажи, якщо один плюс один буде два, а два плюс два буде чотири, скільки буде чотири плюс чотири?
– Це несправедливо, Маріє Іванівно! Ви завжди відповідаєте на легкі питання, а мені дістаються найважчі.

38. Майже одеський анекдот. – Скажи, Толику, скільки мама заплатила за три кілограми яблук, якщо кілограм коштує дві гривні?
— Не знаю! Моя мама завжди торгується.

Література

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М., «Мир», 1971.

2. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: «Мир», 1974.

3. Горішки для розуму. Логіка. Збірник задач. 5-9 класи./Укл. Геращенко В. О. – Х.: Торсінг плюс, 2010.

4. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка. – М.: Просвещение, 1984.

5. Барничка Ю. Ю., Кухар В. М. Цікава математика у 4 і 5 класах. – «Радянська школа», Київ – 1975.

6. Кинг Л. Задачки для людей с высоким IQ. – М.: АСТ: Астрель, 2006.

7. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1987.

8. Скобелєв Г. М., Берман В. П. Математика в позаурочний час. – «Радянська школа», Київ – 1973.

9. Журнал «Барвінок», 2010-2014 р.р.

Зміст

1. Без ручки і паперу …………………………………………….. 6

2. Числові головоломки …………………………………………..7

3. Логічні завдання………………………………………………...9

4. Задачі із зубочистками …………………………………………14

5. Логічний калейдоскоп …………………………………………19

6. Загадки і жарти …………………………………………………21

7. Винахідницькі задачі …………………………………………..24

8. Данський кубик ………………………………………………..28

9. Так кажуть учителі …………………………………………….36

10. Веселі перегони ………………………………………………..37

11. Література ………………………………………………………42

Для нотаток

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для нотаток

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для нотаток

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Коментарi